Cette proposition est un Gradus ad Parnassum en géométrie arithmétique, portant sur les aspects intégraux et $p$-adiques des formes automorphes et des représentations galoisiennes, ainsi que sur les relations entre elles. Elle s’inscrit dans le prolongement du chemin ouvert par la démonstration de la conjecture de Shimura–Taniyama–Weil et poursuivi avec le programme de Langlands $p$-adique pour $\mathrmGL_2(\mathbbQ_p)$, lequel a montré que des invariants issus de la théorie de déformation des représentations galoisiennes $p$-adiques sont prédits par des invariants provenant de la théorie des représentations des groupes de Lie $p$-adiques à coefficients de torsion.

Ce programme, établi au début des années 2000 par une série de travaux spectaculaires de Breuil, Colmez, Emerton, Kisin, Pašk ?nas, a conduit à la démonstration de conjectures de longue date telles que celle de Fontaine–Mazur. Mais le passage à des groupes plus généraux que $\mathrmGL_2(\mathbbQ_p)$ s’est révélé immensément plus difficile, et peu de progrès ont été accomplis depuis plus de quinze ans.

Néanmoins, des travaux récents de mes collaborateurs et des miens ont produit des percées permettant de résoudre des problèmes anciens, en s’appuyant sur les trois piliers du programme de Langlands $p$-adique : l’espace des paramètres $p$-adiques, les propriétés intégrales des représentations lisses des groupes $p$-adiques, et la compatibilité locale–globale.

Mon Gradus est une ascension vers les plus hauts sommets du Parnasse de la géométrie arithmétique et du programme de Langlands mod-$p$, le long de ces trois piliers, en développant autant que possible le potentiel des percées de mes collaborateurs et des miennes, lesquelles ont ouvert des perspectives et des intuitions que l’on croyait jusqu’ici hors de portée

Le projet a été financé suite à l’appel ANR MRSEI 2025, pour une période de 24 mois. Le coordinateur scientifique est Stefano Morra, Prof. rattaché au LAGA.